Les vagues, une histoire de maths et de physique
Les ondes sont représentées grâce à la fonction d’onde, cette formule donne un signal à deux dimensions, la hauteur et la longueur indiquant le temps et l'espace. Une onde est une vibration qui se propage périodiquement en fonction du temps ainsi que de l'espace. Nous ne travaillerons pas dans un espace à trois dimensions car cela est trop compliqué.
Cette fonction permet la modélisation d'une onde : h(x,t) = H₀*cos[ (2 π/T)*t + (2 π/ λ)*x ], ici l'onde va vers l'arrière, il aurait fallu un - à la place du +, mais l'étude est plus simple avec un +.
Où :
- H₀ : est l’amplitude [m]
- T : la période [s]
- λ : la longueur d’onde [m]
- t : le moment [s], variable
- x : la position [m], variable
- (2 π/T)*t : l’onde dans le temps
- (2 π/ λ)*x : l’onde dans l’espace
Description de la fonction cosinus
Soit x un nombre réel et un point M qui appartient au cercle trigonométrique, on appelle alors cosinus, l’abscisse du point M dans le repère orthonormé (O, i, j).
De plus pour certains réels x on connaît les valeurs du cosinus, on parle alors des valeurs remarquables :
Caractéristiques de la fonction :
- La fonction est dite périodique de période 2 π, c’est a dire que pour tous réel x, on a cos (x + 2 π) = cos (x
- La fonction cosinus est une fonction paire, c’est a dire que cos(-x) = cos x
Courbe de la fonction cosinus à partir de Geogebra
- La fonction est bornée : -1 ≤ cos(x) ≤ 1
La fonction d’onde en fonction de la position :
La fonction d'onde en fonction du temps :
Méthode pour définir λ :
On peut définir λ grâce à plusieurs formules qui sont c*T ou c/f ( où c est la célérité de l’onde et f la fréquence ). En prenant la deuxième formule on définie la fonction suivante : g(f) = c/f, cette fonction définie donc la longueur d’onde en fonction de sa fréquence ( la fréquence est donnée par l'inverse de la période ). En calculant sa dérivée on peut observer comment évolue la longueur d'onde en fonction de la fréquence.
g(f) = c/f = c*1/f = k*1/v
g’(f) = k*(-1/v ^2) = c*(-1/f^2) = -c/f^2
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On en déduit donc ce tableau de variations qui nous permet de voir que plus la fréquence est élevée plus la longueur d’onde diminue et inversement. Ce qui revient à dire que la limite de g(f) pour f tendant vers +∞ est 0.
Fonction d’onde à un temps fixé
La représentation d’une vague sans la notion de temps revient à décrire une vague sur une photo. Ici nous prendrons l’exemple de l’expérience que nous avons réalisée.
Sur l’expérience que nous avons menée nous pouvons mesurer, grâce au repère placé dans l’eau, une longueur d’onde d’une série de vague. Sur cet exemple la longueur d’onde est donc de 0.12m. Une fonction d’onde sans la notion de temps permet d’avoir uniquement la longueur d’onde, soit la longueur d'un motif élémentaire ( par exemple entre la crête de deux vagues ). Nous ne pouvons pas connaître la fréquence ni la période ni le sens de propagation.
Fonction d’onde à une position donnée
Décrire la fonction à une position donnée revient à donner sa hauteur en fonction du temps ainsi qu’à donner sa période afin d’en déduire sa fréquence. Prenons comme exemple la fonction cosinus.
Ce graphique définit donc l’évolution de la fonction cosinus en fonction du temps, en abscisses le temps [s] et en ordonnées la hauteur (en mètre par exemple). La fonction cosinus a pour période T = 2 π[s], sa fréquence est donc f = 1/T = 1/2 π ≈ 0.159 [Hz].
Pour ce qui est de la hauteur en fonction du temps il suffit de regarder le tableau de valeurs de la fonction cosinus.
Maintenant observons grâce au site https://www.windguru.cz/ un exemple concret, avec les vagues du spot de surf de la Torche.
En prenant comme exemple la journée du mardi 24 février 2015 nous prenons une période T = 17 [s], la fréquence des vagues du 24 est donc de f ≈ 0.059 [Hz]. Nous ne pouvons pas déterminer la hauteur d’une vague en fonction du temps mais nous pouvons voir leurs hauteurs en fonction de leurs périodes.
Ce graphique correspond au tableau ci-dessus. Pour une même période, on peut observer une hauteur de vague différente, cela est dû à différents facteurs tels que le vent.
Recherche des différents sommets
Quel sont les sommets de la vague à un temps t ? Ainsi la dérivation de la fonction d’onde peut nous permettre de trouver les sommets de la vague.
Nous savons que -H₀ et (2 π/ λ) sont des constantes. Pour que les produits de ces trois facteurs soient égales à 0, il faut donc que :
Tout est modulo 2π vu que nous cherchons à trouver tous les sommets de la vague à un temps t.
Nous pouvons donc déterminer les sommets et les creux des vagues.
Nous allons rechercher les sommets d’une autre manière et en fonction de la position cette fois, soit en fonction de x
.
Nous pouvons donc savoir où se situent les sommets.
Le déphasage :
Les vagues étant des ondes, elles sont donc régies par les mêmes règles. Le déphasage est la différence de phases entre deux sommets. Une phase correspond à l'endroit où l'onde se situe dans le temps et dans l'espace.
Nous allons prendre une seconde fois l'exemple sur notre expérience en prenant une photo. Nous observerons donc un déphasage dans l'espace.
Pour le déphasage dans l'espace, on regarde la distance qui sépare deux sommets consécutifs. Malgré la qualité de l'image, ici on peut évaluer le déphasage à environ 1.5cm. C'est à dire que l'une des deux vagues est en avance de 1.5cm.
Pour ce qui est du déphasage dans le temps il faut calculer la différence entre le moment d'arrivée, à un point fixé, de la première vague et celui de la suivante.
